Создание уточненной математической модели линейного асинхронного электродвигателя

опубликовано: .

В настоящее время для анализа динамических режимов линейных асинхронных двигателей (ЛАД) используются аналитические и численные модели, а также модели на основе детализированных магнитных схем замещения (ДМСЗ). Аналитические модели, как правило, обеспечивают существенно меньшее время расчета, но обладают меньшей точностью в силу большого числа допущений принятых при их разработке. Численные модели дают значительно большую точность, но при этом расчет численной модели сводится в большинстве случаев к решению системы уравнений высокого порядка (десятки, сотни или тысячи уравнений), что неизбежно приводит к возрастанию времени расчета этих моделей на несколько порядков по сравнению с аналитическими. Модели на основе ДМСЗ характеризуются сравнительно невысоким порядком системы дифференциальных уравнений и обеспечивают при этом достаточно высокую точность расчетов. Однако порядок системы уравнений в таких моделях, также как и в численных, зависит от длины индуктора (числа пазов индуктора) и может оказаться достаточно большим.

Необходимо найти компромиссное решение. За основу взята аналитическая модель ЛАД как объекта управления, предложенная в статье журнала "Электричество", 1994 г., автором которой являются Сарапулов Ф.Н., Черных И.В., название статьи "Математическая модель линейной индукционной машины как объекта управления". Структурная схема модели показана на рис. 1.

Структурная схема линейного асинхронного двигателя

Рисунок 1 Структурная схема ЛАД

Модель разработана с учетом предварительного перехода к двухфазной машине. Алгоритм работы с такой моделью сводится к следующему: сначала, с помощью статической модели, рассчитываются частотные характеристики ЛАД для коэффициентов само- и взаимоиндукции обмоток машины Maa(jw), Mab(jw), Mba(jw), Mbb(jw) и коэффициентов связи потоков в торцах ярма машины с фазными токами W1a(jw), W1b(jw), W2a(jw), W2b(jw). При этом для каждого коэффициента рассчитывается семейство частотных характеристик для набора значений скорости движения вторичного элемента. Затем по частотным характеристикам находятся передаточные функции Maa(p) -Mab(p) и W1a(p) -W2b(p), которые и используются в модели для расчета динамических режимов. Достоинством указанной модели является то, что структура и сложность модели не зависит от числа полюсов ЛАД и, поэтому, модель может быть использована для расчетов двигателей со сколь угодно большим числом полюсов (длиной индуктора).
Передаточные функции модели могут быть использованы также для синтеза системы управления линейным двигателем. В работе Сарапулова Ф.Н., Черных И.В. частотные характеристики рассчитываются по аналитической модели. Однако эти характеристики можно получить и с помощью численных моделей. При этом большинства допущений, принятых при разработке аналитической модели, можно избежать. Практически, в такой модели не учитывается лишь насыщение магнитопроводов, что для ЛАД не является определяющим в связи с большой величиной воздушного зазора между индуктором и вторичным элементом. Не учет насыщения обусловлен тем, что частотные характеристики имеют смысл лишь для линейной модели.

В качестве программной среды для создания численной модели, позволяющей рассчитывать частотные характеристики ЛАД, выбран конечно-элементный пакет FEMLAB.

Эмблема конечно-элементного пакета femlab

Рисунок 2. Эмблема конечно-элементного пакета "FEMLAB".
Компания "COMSOL"

Выбор обусловлен возможностью работы данной программы под управлением пакета MATLAB, благодаря чему становится возможным использовать средства программирования (в частности циклы) для разработки процедур определения частотных характеристик. Таким образом, методика расчета частотных характеристик сводится к следующему:

1. С помощью графического интерфейса пользователя пакета FEMLAB создается статическая модель линейной машины. При этом разработчику необходимо фактически создать чертеж конструкции машины,

Построение модели линейного асинхронного двигателя

Рисунок 3. Построение модели ЛАД в графическом редакторе пакета "FEMLAB"

Рисунок 4. Добавление вторичного элемента в модель ЛАД

задать свойства материалов элементов ЛАД (магнитную проницаемость, удельную электропроводность и т.д.)

Рисунок 5. Запись значения скорости движения вторичного элемента ЛАД в меню свойств материалов

Рисунок 6. Запись значения проводимости высоко-проводящего слоя вторичного элемента ЛАД в меню свойств материалов

и ввести граничные условия, которые фактически являются нулевыми.

Рисунок 7. Запись граничных условий модели ЛАД

Графическая модель построена. Строится, конечноэлементная сетка.

Рисунок 8. Построение конечно-элементной сетки

Решается задача.

Результат решения задачи статической модели ЛАД показан на рис. 9.

Рисунок 9. Результат решения задачи статической модели ЛАД

Там же показаны линии равного уровня векторного магнитного потенциала для одного из рассчитанных вариантов. С использованием средств программирования MATLAB выполнить расчет частотных характеристик.

При расчете частотных характеристик не нулевое значение тока задается в одной из обмоток индуктора (например, в фазе А). В остальных обмотках токи задаются равными нулю (фазы В, С).

Рисунок 10. Пример элемента программы автоматизированного расчета потокосцеплений

Эти значения токов передаются в пакет FEMLAB и выполняется расчет картины электромагнитного поля.

Рисунок 11. Передача данных из пакета "MATLAB" в пакет "FEMLAB" и обратно

Рассчитанные величины индукции B, векторного магнитного потенциала Az, напряженности H передаются в виде структуры в MATLAB, где и происходит расчет коэффициентов для заданной частоты.

Рисунок 12. Пример FEM-структуры переданной в пакет "MATLAB"

Для определения коэффициентов само- и взаимоиндукции обмоток ЛАД используются функции пакета FEMLAB доступные в MATLAB. Так, например, потокосцепление проводников в обмотки фазы А машины находится по выражению:

где w– число витков обмотки, l – ширина индуктора, postint – название функции, выполняющей интегрирование переменной для заданной области, fem – имя структуры, содержащей решение полевой задачи, Az – имя переменной, интеграл которой определяется, Dl – название списка областей для которого производится интегрирование, n1 и n2 – значения списка областей, S – площадь (поперечное сечение) обмотки. Потокосцепление всей обмотки находится как разность потокосцеплений проводников фаз А и Х (-А):

Коэффициент самоиндукции обмотки фазы А будет найден как отношение найденного потокосцепления к току обмотки этой фазы:

Аналогичным образом для заданного диапазона частот определяются остальные коэффициенты само- и взаимоиндукции обмоток фаз MAB, MAС, MBA,MBB, и т.д.

Изложенная выше процедура последовательно повторяется для ненулевых значений тока обмоток фаз B и C.

Следующим шагом является переход к эквивалентной двухфазной машине. Потокосцепление обмоток трехфазной машины может быть записано в матричной форме следующим образом:

В свою очередь, потокосцепление обмоток двухфазной машины может быть представлено как:

Потокосцепления обмоток двухфазной машины могут быть найдены также с помощью матрицы перехода из потокосцеплений трехфазной машины:

Токи обмоток трехфазной машины также могут быть найдены с помощью соответствующей матрицы перехода:

Подставив выражение (7) в (4) и результат этой подстановки в (6), а также приведя подобные, получим выражения для коэффициентов само- и взаимоиндукции двухфазной машины:

Рисунок 13. Перевод коэффициентов само- и взаимоиндукции трехфазной машины к эквивалентным коэффициентам двухфазной машины с помощью пакета "Mathcad"

Потоки в торцах ЛАД находятся также с помощью функции postint:

В выражении (12) последние два параметра задают в качестве области интегрирования отрезок, в отличие от выражения (1), где интегрирование производится по двумерной области. В этом выражении n1 задает номер геометрического объекта являющегося торцом ЛАД в FEMLAB-модели. Для перехода к эквивалентной машине достаточно записать выражения потоков в торцах для двух- и трехфазной машины:

Подставив в формулу (7) выражение (13) и приравняв результат к правой части выражения (14) получим:

Рисунок 14. Перевод потоков в торцах трехфазной машины к эквивалентным потокам двухфазной машины с помощью пакета "Mathcad"

Полученные частотные характеристики ЛАД могут быть представлены в виде суммы действительной и мнимой частей

Данная частотная характеристика приближается выражением

Равенство G(jw) = H(jw) для каждой точки частотной характеристики ЛАД (всего k точек) дает систему из 2k уравнений вида:

Полученная переопределенная система уравнений решается с помощью разложения Хаусхолдера [7], дающего решение, удовлетворяющее критерию наименьших квадратов.

Исходная система уравнений (19) записывается в матричной форме:

где A – прямоугольная матрица коэффициентов, X – матрица-столбец корней системы уравнений, B – матрица-столбец правых частей системы уравнений. С использованием сингулярного разложения исходная матрица A раскладывается на 3 матрицы: S, U и V. Матрица S – диагональная с неотрицательными диагональными элементами (сингулярными числами).

Матрицы U и V используются для преобразования уравнения (20) в уравнение

Решение находится следующим образом:

где Z находится из решения уравнения

Последнее уравнение легко решается, поскольку матрица Z – диагональная. Точность аппроксимации частотных характеристик определяется, с одной стороны, порядком числителя и знаменателя аппроксимирующей передаточной функции (чем выше порядок – тем точнее приближение) и, с другой стороны, выбранным частотным диапазоном в котором осуществляется аппроксимация (чем шире частотный диапазон – тем выше точность). Однако повышение порядка аппроксимирующей передаточной функции и расширение частотного диапазона в сторону увеличения максимальной частоты приводит к тому, что коэффициенты в системе уравнений (18) становятся очень большими (105 – 1010), что приводит к снижению точности в связи с ограниченным числом значащих цифр разрядной сетки компьютера при операциях с плавающей запятой. Таким образом, порядок аппроксимирующей передаточной функции и частотный диапазон необходимо задавать минимально возможными при обеспечении удовлетворительной точности аппроксимации. Вычислительные эксперименты показали, что для аппроксимации частотных характеристик ЛАД степень полиномов числителя и знаменателя может не превышать 5, а максимальная частота – 150 Гц, при этом в случае правильного выбора порядка аппроксимирующей передаточной функции максимальная частота может быть существенно снижена.

Рисунок 15. Пример совпадения рассчитанной ЛАЧХ, ЛФЧХ и аппроксимированной ЛАЧХ, ЛФЧХ двухфазной машины в пакете "Mathcad"

Полученные значения коэффициентов дробно-рациональных передаточных функций ЛАД, используются для моделирования двигателя в системе SIMULINK (инструмента MATLAB).

Рисунок 16. Структурная схема ЛАД построенная в "SIMULINK" с возможностью изменения начальной скорости движения вторичного элемента пользователем программы

Рисунок 17. Структурная схема ЛАД построенная в "SIMULINK" с функцией коррекции коэффициентов передаточных функций в зависимости от скорости движения вторичного элемента

Поскольку коэффициенты передаточных функций должны меняться с изменением скорости был разработан специальный SIMULINK-блок реализующий такую возможность. Алгоритм работы блока заимствован из [8].

Рисунок 18. Структурная схема блока коррекции коэффициентов передаточных функций в зависимости от скорости движения вторичного элемента

На рис.19 показаны графики переходных процессов ЛАД при пуске на холостом ходу и последующем набросе нагрузки.

Рисунок 19. Графики скорости и усилия при пуске двигателя на холостом ходу

[1] Соколов М.М., Сорокин Л.К. Электропривод с линейными асинхронными двигателями. М.: Энергия, 1974. 136с.
[2] Lipo T.A., Nondahl T.A. Pole-by-pole d-q model of a linear induction machine // IEEE Trancaction Power Apparatus and Systems. 1979. Vol.98, N2. P.629-642.
[3] Сарапулов Ф.Н., Черных И.В. Математическая модель линейной индукционной машины как объекта управления, "Электричество", 1994 г., № 5
[4] Насар С.А., Болдеа И. Линейные тяговые электрические машины: Пер. с англ. М.: Транспорт, 1981. 178с.
[5] Насар С.А., Дел Сид Л. Тяговые и подъемные усилия, развиваемые односторонним линейным двигателем для высокоскоростного наземного транспорта // Наземный транспорт 80-х годов: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. С.163-170.
[6] Структурное моделирование электромехани-ческих систем и их элементов. В.А.Иванушкин, Ф.Н.Сарапулов, П.Шымчак – Щецин: 2000г. 310с.
[7] Форсайт Дж., Малькольм М. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 277с.
[8] Башарин А. В., Постников Ю.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ: Учеб.пособие для вузов. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 512с.

1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса -ов)