Нагревание и охлаждение идеального однородного твердого тела

опубликовано: .

     СОДЕРЖАНИЕ:

  1. Уравнение нагревания.
  2. Установившееся превышение температуры и постоянная времени нагревания.
  3. Решение уравнения нагревания.
  4. Случай нагревания при Θ0 = 0.
  5. Охлаждение тела.
  6. Общий случай нагревания тела.
  7. Графический способ определения T.
  8. Заключительные замечания.

Уравнение нагревания

Хотя электрическая машина имеет сложное устройство, в основу анализа процесса ее нагревания может быть положена теория нагревания идеального однородного твердого тела, под которым здесь понимается тело, обладающее равномерным рассеянием тепла со всей поверхности и бесконечно большой теплопроводностью, вследствие чего все точки тела имеют одинаковую температуру. Составим дифференциальное уравнение нагревания такого тела, для чего рассмотрим его тепловой баланс.

Пусть в единицу времени в теле выделяется количество теплоты Q. Тогда за бесконечно малый промежуток времени выделяемое количество теплоты будет равно Q × dt. Эта теплота частично аккумулируется в теле при повышении температуры и частично отдается во внешнюю среду.

Если за время dt температура тела повысилась на dΘ, то количество аккумулируемой за это время теплоты равно G × c × dΘ, где G – масса тела и c – его удельная теплоемкость.

Пусть в рассматриваемом бесконечно малом интервале времени превышение температуры тела над температурой окружающей среды равно Θ. Тогда количество теплоты, отдаваемое в окружающее пространство за время dt вследствие лучеиспускания, конвекции и теплопроводности, будет равно S × λ × Θ × dt, где S – площадь тела и λ – коэффициент теплоотдачи с поверхности.

На основе закона сохранения энергии

Q × dt = G × c × dΘ + S × λ × Θ × dt . (1)

Прежде чем приступить к решению уравнения нагревания (1), несколько преобразуем его.

Установившееся превышение температуры и постоянная времени нагревания

После истечения достаточно длительного времени (теоретически при t = ∞) температура тела достигает установившегося значения. Тогда dΘ = 0 и Θ = Θ. Подставив эти значения в выражение (1), получим

Q ×dt = S × λ × Θ × dt ,

откуда

(2)

Установившееся превышение температуры Θ тем больше, чем больше выделяется тепла и чем хуже условия ее отдачи, то есть чем меньше S × λ.

Разделим обе части выражения (1) на S × λ, используем равенство (2) и обозначим

(3)

Тогда вместо (1) получим

Θ × dt = T × dΘ + Θ × dt. (4)

Размерность всех членов (4) должна быть одинакова – температура, умноженная на время. Поэтому T имеет разность времени, что можно установить также по формуле (3). Величина T называется постоянной времени нагревания тела; согласно формуле (3), она тем больше, чем больше теплоемкость тела G × c и чем меньше интенсивность отдачи тепла, то есть меньше S × λ.

Если определить из равенства (2) S × λ и подставить в (3), то получим еще одно выражение для T:

(5)

Числитель этого выражения равен количеству теплоты, накопленной в теле при достижении Θ = Θ.

Следовательно, в соответствии с выражением (5) постоянная времени нагревания T равна времени, в течение которого температура достигла бы установившегося значения Θ, если бы отсутствовала передача тепла в окружающую среду и все выделяемое тепло накапливалось в теле.

Решение уравнения нагревания

В уравнении (4) можно разделить переменные и привести его к виду

(6)

При интегрировании уравнения (6) получим

t / T = – ln (Θ – Θ) + C . (7)

Постоянная C определяется из начального условия: при t = 0 тело в общем случае имеет некоторое превышение температуры Θ = Θ0. Подставив указанные значения t и Θ в (7), найдем, что

C = ln (Θ – Θ0) .

Подставим это значение C в (7) и переменим знаки. Тогда

откуда окончательно для Θ = f(t) находим

Θ = Θ × (1 – et/T) + Θ0 × et/T . (8)

Случай нагревания при Θ0 = 0

В этом случае вместо выражения (8) имеем

Θ = Θ × (1 – et/T) ,
(9)

чему соответствует экспоненциальная кривая нагревания, изображенная на рисунке 1, а. При малых t, когда и Θ мало, теплопередача в окружающее пространство также мала, большая часть тепла накапливается в теле и температура его растет быстро, как это видно из рисунка 1, а. Затем с ростом Θ теплоотдача увеличивается и рост температуры тела замедляется. При t = ∞, согласно равенству (9), Θ = Θ.

На рисунке 1, а указаны значения Θ, достигаемые через интервалы времени T, 2T, 3T и 4T. Из этого рисунка видно, что тело достигает практически установившегося превышения температуры через интервал времени t = 4T.

Охлаждение тела

Если тело имеет некоторое начальное превышение температуры Θ ≠ 0, но Q = 0 и, следовательно, в соответствии с выражением (2) Θ = 0, то происходит охлаждение тела от Θ = Θ0 до Θ = Θ = 0.

Подставив в (8) Θ = 0, получим уравнение охлаждения тела

Θ = Θ0 × et/T .
(10)

Экспоненциальная кривая охлаждения тела согласно уравнению (10) представлена на рисунке 1, б. Сначала, когда Θ и соответственно также теплоотдача велики, охлаждение идет быстро, а по мере уменьшения Θ охлаждение замедляется. При t = ∞ будет Θ = 0.

Кривые нагревания и охлаждения идеального однородного твердого тела

Рисунок 1. Кривые нагревания (а) и охлаждения (б) идеального однородного твердого тела

Общий случай нагревания тела

Общий случай нагревания идеального однородного твердого тела
Рисунок 2. Общий случай нагревания идеального однородного твердого тела

Общий случай нагревания тела, описываемый уравнением (8), на основании формул (9) и (10) можно рассматривать как наложение двух режимов: 1) нагревания тела от начального превышения температуры Θ = 0 до Θ = Θ и 2) охлаждения тела от Θ = Θ0 до Θ = 0. На рисунке 2 кривая 3 представляет собой кривую нагревания, построенную по уравнению (8). Эту кривую можно получить путем сложения ординат кривых 1 и 2, соответствующих уравнениям (9) и (10).

Графический способ определения T

Найдем подкасательную бв (рисунок 1, а), отсекаемую на асимптоте Θ = Θ касательной к кривой Θ = f (t). Из рисунка 1, а следует, что

(11)

где α – угол наклона касательной к кривой Θ = f(t).

Как известно,

Но, согласно выражению (6),

(12)

Подставив tg α из (12) в (11), получим

бв = T .

Таким образом, подкасательная к любой точке кривой нагревания или охлаждения равна постоянной времени нагревания T. Этим свойством кривых Θ = f(t) можно воспользоваться для графического определения T, если имеется кривая Θ = f(t), снятая, например, опытным путем. На рисунке 1, б и 2 показан способ определения T при построении касательной к начальной кривой.

Заключительные замечания

Выше была изложена теория нагревания идеального однородного твердого тела. В действительности электрическая машина не представляет собой такого тела, так как она состоит из разных частей, обладающих конечной теплопроводностью, причем теплопроводность электрической изоляции достаточно мала. Поэтому отдельные части машины (обмотка, сердечники и другие) имеют различные температуры. В связи с этим более правильно было бы рассматривать электрическую машину как совокупность нескольких однородных тел, между которыми существует теплообмен. В действительных условиях величина T также не вполне постоянна, так как коэффициенты теплоотдачи зависят в определенной мере от температуры. Кроме того, воздух или другой охлаждающий агент при протекании по вентиляционным каналам нагревается, и поэтому температура охлаждающей среды для различных участков охлаждаемой поверхности имеет различные значения.

Таким образом, кривые нагревания и охлаждения не являются, строго говоря, экспоненциальными. Однако в большинстве практических случаев мы не делаем существенных ошибок, считая их экспоненциальными, то есть применяя изложенную выше теорию нагревания идеального однородного тела.

Источник: Вольдек А. И., "Электрические машины. Учебник для технических учебных заведений" – 3-е издание, переработанное – Ленинград: Энергия, 1978 – 832с.

1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса -ов)